Типовая № 2 «Исследование функций - теоретическая часть» по Математике (Старинец В. В.)

Кирилл Николоев ср, 30.03.2016 23:06

Типовой индивидуальный расчет №2 «Исследование функций» 3.1. Теоретические вопросы 1. Сформулируйте теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Теорема Ролля. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка х=а, х=b обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка с ∈ (a, b,) , в которой f `(c)=0

Теорема Лагранжа. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема во всех его внутренних точках, то найдется такая точка с , что выполняется f(b) - f(a) = f `(c) ( b - a ) . Теорема Коши.

Если функция f(x) и (x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы внутри отрезка, причем `(x) ≠ 0 , тогда внутри отрезка [a, b] найдется точка с , такая что (f(b)-f(a))/(φ(b)-φ(b))=(f`(c))/(φ`(c) ) .

2. Какая связь между возрастанием и убыванием функции и знаком ее производной? Если функция y=f(x) имеющая на отрезке [a,b] возрастание (убывание), то ее производная на отрезке [a,b] отрицательная (положительная).

3. Какая точка называется точкой локального экстремума функции? Точка x_(0 )∈x называется точкой локального максимума(минимума) функции f(x) , если существует окрестность u(x_0) точки x_0 в множестве Х , такая что f(x)f(x_0) ) в любой точке x∈u(x_0) и x≠x_0 .

4. Как расположена касательная к графику функции в точке экстремума? В точке экстремума касательная к графику горизонтальна. 5. Сформулировать достаточные условия экстремума функции. Для того, что бы точка x_0 , была точкой экстремума функции f(x), определенной в окрестности точки x_0 , необходимо выполнении одного из двух условий – либо функция не имеет производной в x_0 , либо эта производная существует и равна нулю.

6. Дать определение выпуклости и вогнутости графика и его точек перегиба. Кривая называется выпуклой вверх на интервале (a;b) , если она расположена ниже касательной, проведенной в любой её точке. Кривая называется выпуклой вниз на интервале (c;d) , если она расположена выше любой ее касательной на этом интервале. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на некотором интервале, содержащем точку x_0 , имеет на этом интервале вторую производную, за исключением, быть может, самой точки x_0 , тогда если f``(x_0) или f``(x_0) не существует и при переходе аргумента через x_0 производная f``(x) меняет знак, то точка x_0 является точкой перегиба кривой y=f(x).

7. Какова связь между выпуклостью и вогнутостью графика и знаком ее второй производной? Если f``(x)0 во всех точках интервала (c;d) , то кривая y=f(x) выпукла вниз. 8. Сформулируйте достаточные условия существования точек перегиба.

Если вторая производная функции при переходе через точку меняет знак, то функция в этой точке имеет перегиб, т.е. функция в этой точке меняет вогнутость. Если в данной точке производная (n-1)-го порядка обращается в ноль, а производная n-го порядка (не четная) не обращается в ноль, то в этой точке функция имеет перегиб.

9. Что называется асимптотой кривой? Что можно сказать о функции, если она имеет горизонтальную (вертикальную) асимптоту? Прямая называется асимптотой неограниченной кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.

Асимптоты, параллельные оси ординат, называют вертикальными, а непараллельные оси ординат – наклонными. Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная, т.е. параллельная оси абсцисс. 10. Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты.

Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой при x→∞ , если k=lim┬(x→0)⁡〖(f(x))/x〗 , b=lim┬(x→∞)⁡〖(f(x)-kx)〗 при условии того, что оба указанных предела существуют. Функция имеет или только одну наклонную асимптоту, или одну горизонтальную асимптоту, или одну наклонную и одну горизонтальную, или две наклонных, или две горизонтальных, либо же вовсе не имеет асимптот.

Скачать файлы

Похожие документы