Курсовая «Механика сплошной среды» по Теоретической механике (Яковлев Р. В.)

Кирилл Николоев сб, 26.03.2016 11:40

Исследование скалярного поля Скалярное поле – это область, в каждой точке которой задан скаляр. Скаляр – (от лат. scalaris – ступенчатый) величина, значение которой выражается одним числом. Для графического изображения скалярных полей используются поверхности уровней.

Поверхность уровня – это геометрическое место точек в пространстве, соответствующих одному и тому же значению скалярной величины (Ф(x,y,z)=const). Если положение точек скалярного поля зависит только от двух координат, то скалярное поле графически будет изображено не поверхностью, а линией уровня, каждая точка которой также будет соответствовать одному и тому же значению скалярной величины.

Для построения поверхности или линии уровня, проходящей через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки в функцию, при помощи которой задано скалярное поле, и определить значение постоянной С. Далее необходимо приравнять саму функцию к найденной постоянной С.

Полученное уравнение будет описывать поверхность или линию уровня. Через каждую точку проходит только одна линия уровня. Скалярное поле характеризуется градиентом. Градиент – вектор, определяющий направление и величину быстрейшего возрастания функции в окрестностях данной точки.

Значение градиента определяется выражением: gradФ(x,y,z)=Ф=i(Ф/x)+j(Ф/y)+k(Ф/z) (1) Значение абсолютной величины градиента определяется выражением: |A|=x2+y2+z2 (2) Свойства вектора градиента

1. Вектор градиента всегда перпендикулярен к касательной, проведенной к линии уровня в точке. 2. Для построения вектора градиента в данной точке необходимо подставить координаты этой точки в вычисленное по формуле (1) выражение и в выбранном масштабе отложить проекции вектора от данной точки и геометрически их сложить.

Задача 1.1. Задана функция скалярного поля Ф(x,y,z)=x+z2 и точки М1 (1,1,1) и М2 (2,2,2). Требуется: 1. Построить две линии равного уровня заданной функции, проходящие через точки М1 и М2. 2. В точках М1 и М2 построить векторы градиентов А1 и А2.

3. Определить модуль скорости возрастания заданной функции в точках М1 и М2. Решение. Подставим координаты точки М1 в заданную функцию скалярного поля. С=1+12=2 Приравняем найденную постоянную С к заданной функции.

x+z2=2 – уравнение линии уровня, проходящей через точку М1. Подставим координаты точки М2 в заданную функцию скалярного поля. С=2+22=6 Приравняем найденную постоянную С к заданной функции. x+z2=6 – уравнение линии уровня, проходящей через точку М2.

Найдем значение градиента. gradФ=i((x+z2)/x)+j((x+z2)/y)+k((x+z2)/z)=i+2zk. Тогда значение градиента в точке М1: А1=i+2k; в точке М2: А2=i+4k. Модуль скорости возрастания заданной функции в точке М1:

|A1|=1+22=5=2,24; в точке М2: |A2|=1+42=9=3. Задача 1.2. В переменных Лагранжа задано движение частицы сплошной среды x=3t2 y=t2+3 и моменты времени t0=0c, t2=1c. Требуется: 1. Определить и построить траекторию движения частицы.

2. Определить и построить на траектории движения в заданные моменты времени вектор скорости и ускорения частицы. Решение. Из второго уравнения системы выразим t2 и подставим в первое. t2=y-3  x=3(y-3)=3y-9.

x=3y-9 – уравнение траектории движения частицы. Тогда в момент времени t0=0c координаты точки будут х=3*02=0 y=02+3=3 В момент времени t2=1c координаты точки будут x=3*12=3 y=12+3=4 Составим систему уравнений скоростей.

Скачать файлы

Похожие документы