Контрольная «Решение интегральных уравнений» по Теории вероятностей и математической статистике (Бойко С. Н.)

Кирилл Николоев пн, 11.04.2016 21:35

32. a) ; б) ; в) . Решение. а) Разделим переменные. ; ; Проинтегрируем последнее уравнение. ; Отсюда общее решение исходного дифференциального уравнения будет иметь вид: где С – произвольная постоянная.

б) Решение данного линейного дифференциального уравнения будем искать в виде . Получим и исходное уравнение примет вид: ; Функцию выберем из условия ; ; Проинтегрируем последнее уравнение. ;

Для выбранной таким образом функции v уравнение примет вид: Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения будет следующим: где С – произвольная постоянная. в) Проведем арифметические действия.

; ; ; Сделаем замену переменной . Тогда . Подставляя эти выражения в уравнение , получим Отсюда Проинтегрируем последнее уравнение. Возвращаясь к исходным переменным, получим общий интеграл решения исходного дифференциального уравнения:

где С – произвольная постоянная. 42. a) ; - подбирая частное решение методом неопределенных коэффициентов (случай правой части специального вида) б) ; - используя метод вариаций произвольных постоянных.

Решение. а) Найдем сначала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения . Для этого составим характеристическое уравнение: Его корни . Поэтому общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения второго порядка будет иметь вид:

где С1 и С2 – произвольные постоянные. Найдем какое-либо частное решение неоднородного дифференциального уравнения . Это решение будем искать в виде: Тогда и . Подставляя значения Y и ее производных в неоднородное дифференциальное уравнение, найдем постоянные a, b и c.

; Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим Таким образом, частное решение неоднородного дифференциального уравнения будет следующим: Известно, что общее решение неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и какого-либо частного решения неоднородного дифференциального уравнения. Поэтому, окончательно общим решением исходного неоднородного дифференциального уравнения будет функция

б) Используем метод вариаций произвольных постоянных для решения дифференциального уравнения . Найдем сначала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения . Для этого составим характеристическое уравнение:

Его корни комплексно-сопряженные . Поэтому общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения второго порядка будет иметь вид: где С1 и С2 – произвольные постоянные. Здесь и - фундаментальные решения этого уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде , считая С1 и С2 функциями аргумента х. Для этого решим систему уравнений: Т.к. и , то система уравнений примет вид: Тогда Найдем Последний интеграл вычислим отдельно.

Скачать файлы

Похожие документы